Rabu, 13 Juli 2011

DASAR-DASAR LOGIKA MATEMATIKA III

1.3. Penghubung Logika

1.3.2.Penghubung Logika

Ada lima jenis penghubung logika yang dapat dipakai untuk meng - gabungkan pernyataan-pernyataan menjadi pernyataan majemuk, yaitu: negasi
(negation), konjungsi (conjunction), disjungsi (disjunction), implikasi (implication), dan biimplikasi (biimplication). Tabel 1.1 menyajikan jenis, simbol dan bentuk dari lima penghubung logika.


Tabel 1.1

Jenis Penghubung | Simbol | Bentuk
Negasi (Not) | ¬ atau ~ | tidak …
Konjungsi (And) | ^ | …dan…
Disjungsi (Or) | v | …atau…
Implikasi | Ω / → | Jika… maka…
Biimplikasi | ↔ | …jika dan hanya jika…

Prioritas dari penghubung-penghubung logika disajikan dalam Tabel 1.2 Penghubung dengan prioritas lebih tinggi harus diselesaikan lebih dahulu.

Tabel 1.2
Penghubung | Prioritas

Negasi (Not) | 5
Konjungsi (And) | 4
Disjungsi (Or) | 3
Implikasi | 2
Biimplikasi | 1



Untuk mereduksi jumlah tanda (simbol) dan bentuk digunakan perjanjian “Tanda kurung dapat dihilangkan apabila pernyataan dapat dikonstruksi dengan prioritas penghubung”.

1.Negasi
Misalkan p sebuah pernyataan. Negasi (ingkaran)dari p adalah pernyataan tidak p , yang dilambangkan dengan ¬ p atau ~ p . Jadi, jika p bernilai benar, maka ¬p bernilai salah, dan jika p bernilai salah, maka ¬p bernilai benar. Tabel kebenaran ¬p relatif terhadap p disajikan dalam Tabel (1.3).

Tabel 1.3
p |¬p

T | F

F |T

Contoh 1.4

Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:


(a)p : 2 + 3 > 5
(b)q : 5 - 2 = 3
(c)r : Hari Ini Hujan.

Penyelesaian:


(a)¬p : 2 + 3 ≤ 5
(b)¬q : 5 - 2 (tidak =) 3
(c)¬r : Hari ini tidak hujan.

2. Konjungsi

Misalkan p dan q adalah pernyataan. Konjungsi dari p dan q adalah pernyataan majemuk “ p dan q ”, yang dilambangkan dengan p ^ q . Pernyataan majemuk p ^ q majemuk p ^ q bernilai benar jika p dan q keduanya benar. Pernyataan bernilai salah jika salah satu p atau q salah, atau p dan keduanya salah. Tabel kebenaran p ^ q disajikan dalam Tabel 1.4.



Tabel 1.4
p | q | p ^ q

T| T| T
T| F| F
F| T| F
F| F| F

Contoh 1.5

Bentuklah konjungsi dari p dan q :

(a) p : 2 + 3 > 5 ; q : 5 - 2 = 3
(b) p : - 3 > -7 ; q : 3 < 5
(c) p : 2 adalah bilangan prima; q : 2 < 4

Penyelesaian:

(a) p ^ q : 2 + 3 > 5 dan 5 - 2 = 3 |(F)
(b) p ^ q : - 3 > -7 dan 3 < 5 |(T)
(c) p ^ q : 2 adalah bilangan prima dan 2 < 4 |(T)

3. Disjungsi

Disjungsi (inklusif) dari pernyataan-pernyataan p dan q adalah pernyataan majemuk “ p atau q ”, yang dilambangkan dengan p v q. Pernyataan majemuk p v q bernilai benar jika salah satu p atau q benar atau kedua-duanya benar. Dalam praktek, kadang-kadang ditulis “dan/atau”. Sedangkan kata ”atau” dalam arti eksklusif dilambangkan dengan v/. Pernyataan majemuk p v/ q bernilai benar jika salah satu benar tetapi tidak keduanya p atau q benar. Tabel kebenaran p v q dan p v/ q disajikan dalam Tabel 1.5.

Tabel 1.5

p | q| p v q | p v/ q

T|T|T|F
T|F|T|T

F|T||T|T
F|F|F|F

Contoh 1.6

Bentuklah disjungsi dari p dan q :

(a) p : 2 + 3 (tidak =) 5; q : 5 < 3
(b) p : 2 adalah bilangan prima; q : √2 adalah bilangan rasional.


Penyelesaian:

(a) p v q : 2 + 3 (tidak =) 5 atau 5 < 3 | (F)
(b) p v q : 2 adalah bilangan prima atau √2 adalah bilangan rasional | (T).

DASAR-DASAR LOGIKA MATEMATIKA II

1.3 Pernyataan Majemuk

1.3.1.a Pernyataan Majemuk
Kalimat-kalimat sederhana yang benar atau salah adalah dasar dari pernyataan. Kalimat-kalimat yang lebih besar dan kompleks dapat dikonstruksi dari pernyataan dasar dengan mengkombinasikannya dengan penghubung logika (connectives). Jadi,proposisi dan penghubung logika adalah unsur dasar dari logika proposisional.
Dalam matematika, huruf-huruf x, y, z, ... melambangkan variabel yang dapat diganti dengan bilangan riil dan variabel-variabel ini dapat dikombinasikan dengan operasi hitung + , X , - , dan /. Dalam logika, huruf-huruf p, q, r,... me-lambangkan variabel-variabel pernyataan, artinya variabel yang dapat diganti dengan pernyataan.

Contoh 1.3

Berikut ini adalah contoh variabel pernyataan:

p : 2 + 3 = 5 .

q : 2 adalah bilangan prima.

r : √2 adalah bilangan rasional.

Pernyataan-pernyataan yang disajikan dengan huruf-huruf p, q dan r dinamakan sebagai pernyataan primitif/ proposisi atomic.

Variabel-variabel pernyataan dapat digabungkan dengan penghubung - penghubung logika untuk memperoleh pernyataan majemuk (compound statements). Nilai kebenaran dari sebuah pernyataan majemuk hanya bergantung pada nilai-nilai kebenaran dari variabel-variabel pernyataannya (komponen- komponennya) dan pada jenis penghubung logika yang digunakan. Sebagai contoh, kita dapat mengkombinasikan variabel-variabel pernyataan dalam Contoh 1.3 dengan penghubung dan (and) untuk membentuk pernyataan majemuk

2 adalah bilangan prima dan √2 adalah bilangan rasional
atau
q dan r .

Hubungan dari nilai kebenaran pernyataan majemuk dan variabel-variabel penyusunnya dapat disajikan dengan sebuah tabel.Tabel ini menyajikan nilai dari sebuah pernyataan majemuk untuk semua nilai yang mungkin dari variabel- variabel penyusunnya dan disebut tabel kebenaran (truth table).Dalam membuat tabel kebenaran, ditulis “T” untuk benar (True)dan “F” untuk salah (False).

DASAR-DASAR LOGIKA MATEMATIKA I

1.1 Pendahuluan

Logika adalah suatu displin yang berhubungan dengan metode berpikir. Pada tingkat dasar,logika memberikan aturan-aturan dan teknik-teknik untuk menentukan apakah suatu argumen yang diberikan adalah valid. Berpikir logis digunakan dalam matematika untuk membuktikan teorema-teorema, dalam ilmu komputer untuk menguji kebenaran dari program dan untuk membuktikan teorema-teorema, dalam ilmu pengetahuan alam untuk menarik kesimpulan dari eksperimen-eksperimen, dalam ilmu pengetahuan sosial dan dalam kehidupan sehari-hari untuk menyelesaikan banyak masalah. Tentu saja,kita tak henti-hentinya menggunakan pemikiran yang logis.

Dalam logika kita tertarik kepada benar atau salahnya dari pernyataan- pernyataan (statemen-statemen),dan bagaimana kebenaran/kesalahan dari suatu statemen dapat ditentukan dari statemen-statemen lain. Akan tetapi, sebagai pengganti dari statemen-statemen spesifik, kita akan menggunakan simbol-simbol untuk menyajikan sebarang statemen-statemen. sehingga hasilnya dapat digunakan dalam banyak kasus yang serupa.

1.2 Pernyataan

Unit terkecil yang berhubungan dengan logika (proposisional)adalah kalimat. Kalimat-kalimat yang diperhatikan dalam logika bukan sebarang kalimat tetapi kalimat-kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya. Jenis kalimat ini disebut pernyataan atau statemen (statement).

Setiap pernyataan adalah sebuah kalimat, tetapi sebuah kalimat belum tentu sebuah pernyataan. Hanyalah kalimat-kalimat yang bersifat “menerangkan sesuatu”(kalimat deklaratif) yang dapat digolongkan sebagai pernyataan. Akan tetapi, tidak semua kalimat yang menerangkan sesuatu dapat digolongkan sebagai pernyataan.

Jadi, pernyataan adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya. Istilah lain dari pernyataan adalah proposisi (propositions) atau kalimat tertutup.

Jika sebuah pernyataan benar,maka pernyataan tersebut dikatakan mempunyai nilai kebenaran “benar”;jika sebuah pernyataan salah, maka nilai kebenarannya adalah “salah”.



Contoh 1.1

Berikut ini adalah contoh pernyataan:

(a) Bumi adalah bulat.
(b) 2 + 3 = 5 .
(c) Air adalah benda padat
(d) Temperatur pada permukaan planet Venus adalah 8000F.
(e) Matahari akan terbit besok pagi.

Kalimat (a) dan (b) adalah pernyataan dengan nilai kebenaran “benar”. Kalimat (c) adalah pernyataan dengan nilai kebenaran “salah”.Kalimat (d) adalah kalimat deklaratif yang nilai benar atau salahnya kita tidak tahu pada saat ini.; akan tetapi pada prinsipnya kita dapat menentukan nilai kebenarannya sehingga(d) adalah pernyataan. Kalimat (e) adalah pernyataan karena bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya, meskipun kita harus menunggu sampai besok pagi untuk memastikan nilai kebenarannya.


Contoh 1.2

Berikut ini adalah contoh bukan pernyataan:

(a) Bukalah pintu itu!
(b) Apakah anda dapat berbahasa Cina?.
(c) x lebih besar dari 3 ( x adalah variabel yang menunjukkan bilangan).



Kalimat (a) adalah perintah dan kalimat(b)adalah pertanyaan. Kalimat(c)bukan pernyataan karena nilai tertentu yang diberikan untuk x kita tidak dapat mengatakan apakah bernilai benar (lebih besar 3) atau salah(lebih kecil atau sama dengan 3).